大气相干长度r₀表征了光波大气传输路径上综合光学湍流强度，是用于天文观测、湍流成像、无线光通信、激光大气传输等领域研究中的重要光学湍流参量，其物理意义是，湍流大气中能实现衍射受限成像的光学系统口径上限^[1-5]。因为可以消除仪器观测中的抖动误差，差分像运动监测仪（Differential Image Motion Monitor, DIMM）是目前被广泛认可且作为标准的大气相干长度测量仪，1990年以来，多数优良天文台的选址及其他光波大气传输应用中都可以看到它的影踪。例如，La Palma天文台、三十米望远镜项目、南极DomeA、DomeC等的选址中^[6-11]，无线光通信系统性能分析等^{[5, 12]}。DIMM中的传统计算公式要求子孔大小D与子孔间距d满足关系式d≥2D，并且D需满足近场近似条件D>(λL)^0.5，λ为观测光波波长，L为光在湍流路径上的传播距离。自从DIMM发明30多年以来，大家都遵循该计算公式对仪器几何结构的要求设计DIMM，小型化的DIMM未见报道。因此，用于天文选址中的DIMM的子孔大小D通常为4~11 cm，d通常为20~30 cm，一般采用卡塞格林式望远镜，其口径通常在30 cm左右^{[6-11, 13-14]}。显然，更轻量便携的小型DIMM将为实时监测大气光学湍流状态提供极大便利，对激光大气传输、自适应光学等工程应用具有重要意义。

笔者等之前的研究初步表明^[15]，对于整层大气传输，近场近似条件可放地更宽，间距问题实质上是倾斜非等晕性问题，采用新的计算公式计算大气相干长度不受传统计算公式中子瞳间距要求（d≥2D）的限制，为DIMM小型化提供了初步的理论依据。文中继续深化对DIMM中计算公式的探讨，理清公式中各项的来源，明确公式中的物理意义。另一方面，将小型化DIMM原型与一台标准DIMM在同一地点同时观测相同的恒星开展大气相干长度测量对比实验；并且利用大气湍流局地均匀各向同性假设，从横向与纵向大气相干长度统计上的差异来验证公式的有效性，此类实验以及验证方法之前未见报道。

通过测量到达角起伏可以计算得出大气相干长度，为了消除仪器观测中的抖动影响，差分像运动法被提出。像运动的实质是到达角起伏，也即波前倾斜项的起伏，将望远镜上两个子孔上的到达角做差分，可以将望远镜的抖动去掉。显然，差分到达角的方差为两孔径上的到达角方差之和（纯湍流引起的到达角起伏，已经扣除仪器抖动）减去两孔径上到达角的相关函数，物理意义十分明确。Sarazin & Roddier在研究DIMM原理时给出的计算公式为 ^[16]：

$\sigma _{{l}}^2 = 2{\lambda ^2}{r_{0{{l}}}}^{ - 5/3}(0.179{D^{ - 1/3}} - 0.096\;8{d^{ - 1/3}})$ (1a)

$\sigma _{{t}}^2 = 2{\lambda ^2}{r_{0{{t}}}}^{ - 5/3}(0.179{D^{ - 1/3}} - 0.145{d^{ - 1/3}})$ (1b)

式中：σ_l²、σ_t²为两子瞳波前差分到达角的纵向、横向方差（纵向是指两孔中心连线方向，横向为其垂直方向）；D为子瞳直径；d为子瞳间距；λ为计算r₀的取值波长，r_0l对应于纵向方差算出的r₀，r_0t对应于横向方差算出的r₀。在大气湍流局地均匀各向同性假设下，r_0l、r_0t统计上应该相一致，可以理解为变化趋势一致，数值大小相差不大；单次r₀一般取两者的均值。文中将从实验中r_0l、r_0t统计上的趋势变化来验证计算公式的正确性。

上述Sarazin & Roddier计算公式在文中也称传统计算公式。对该公式进行推导分析可知 ^[15-16]，公式中系数0.179应该为0.182，公式前一项0.364λ²D^−1/3r₀^−5/3为单孔上的Z-tilt到达角起伏方差（若分解为纵向和横向两个方向的到达角起伏方差，则单个方向上的到达角起伏方差为总方差的一半0.182λ²D^−1/3r₀^−5/3），也即两孔径上的某一方向到达角方差之和。公式后一项为减去的两子孔中心点的到达角起伏相关函数，对于到达角的纵向与横向，其值分别为2λ²r_0l^−5/3×0.0968d^−1/3、2λ²r_0t^−5/3×0.145d^−1/3。应该注意，这里用两点的到达角起伏相关来近似成两孔径上的到达角起伏相关。该近似只有在子孔间距要求d≥2D下才成立，可以预见，由于孔径效应，d/D越小，这种近似程度越低。Sasiela^[17]利用横向谱滤波及梅林变换技术研究倾斜非等晕性时给出了更准确的Z-tilt差分到达角的纵向、横向方差公式，为叙述方便，文中也称新计算公式：

$\left[ \begin{array}{l} \sigma _l^2 \\ \sigma _t^2 \\ \end{array} \right] = \dfrac{{0.364{\lambda ^2}{D^{ - 1/3}}}}{{{r_0}^{5/3}}}\left\{ {\left[ \begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right] - \left[ \begin{array}{l} 0.531{\left( {\dfrac{D}{d}} \right)^{1/3}} \\ 0.799{\left( {\dfrac{D}{d}} \right)^{1/3}} \\ \end{array} \right.} \right.\left. {\left. \begin{array}{l} {}_4{F_3}\left. {\left[ { - \dfrac{5}{6},\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{6},\dfrac{2}{3};} \right.5,3, - \dfrac{1}{3};{{\left( {\dfrac{D}{d}} \right)}^2}} \right] \\ {}_{\rm{3}}{F_2}\left[ { - \dfrac{5}{6},\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{6};} \right.5,3;\left. {{{\left( {\dfrac{D}{d}} \right)}^2}} \right] \\ \end{array} \right]} \right\}\;\;d > D{\rm{ }}$ (2)

式中：_qF_p为广义超几何函数，可以通过数值软件计算得出。为了方便比较传统计算公式（其中系数0.179已校正为0.182）与新计算公式的差异，可以将两式改写为规格化模式：

$\left[ \begin{array}{l} \sigma _l^2 \\ \sigma _t^2 \\ \end{array} \right] = 0.364{\lambda ^2}\frac{{{D^{ - 1/3}}}}{{{r_0}^{5/3}}}\left[ \begin{array}{l} {K_l} \\ {K_t} \\ \end{array} \right]{\rm{ }}$ (3)

如前所述，0.364λ²D^−1/3r₀^−5/3是单孔上的到达角起伏方差，系数K_l、K_t称为归一化差分系数，为1减去两孔径上到达角起伏相关系数，分别代表两孔径上到达角纵向或横向差分后残余的起伏，物理意义明确。分别将传统计算公式（1）、（2）和新计算公式（3）对应的归一化差分系数设为K_lO、K_tO和K_lN、K_tN，计算出它们随d/D的变化关系如图1所示。从图中可以看出，随着d/D的增大，两种公式对应的系数越来越接近；当d/D≥2时，可以用传统计算公式近似Sasiela公式，但当d/D<2时，随着d/D的进一步减小，两公式系数差异越来越明显。

显然，减小子孔直径D与间距d的值可以使DIMM小型化。对于整层大气观测，D大于3 cm就可以满足近场条件^[15]，由于观测信噪比要求，D取6 cm左右。采用新计算公式，此时子孔间距d最小可取为D，即两子孔紧挨。那么，口径12 cm左右的小望远镜就可以用来作为DIMM的光学接收主体，这种小型DIMM将会比传统DIMM （口径一般在30 cm左右）缩小近2倍，从而更轻量便携。

利用两个紧挨着的6 cm子孔面罩替换一台标准DIMM中的子孔面罩得到小型化DIMM的实验测试原型。将该小型化DIMM原型与另一台标准DIMM放在一起同时观测相同的恒星开展大气相干长度测量对比实验。实验自2019-09-28至2019-09-30在安徽省合肥市中国科学院大气光学中心楼顶实验平台进行，实验现场照片如图2所示。标准DIMM采用的是中国科学院安徽光学精密机械研究所的全自动大气相干长度仪，具有自动调焦、自动换星及跟踪功能，可以实现24 h无人值守全自动观测，其子孔直径为9 cm，间距为20 cm。它可以根据信标亮度，自动调整曝光时间，考虑到倾斜项时间平滑效应，曝光时间不超过10 ms。

由于两台设备都是基于标准DIMM，利用该小型DIMM测试原型来开展对比实验，可以极大降低两台设备因主体望远镜的差异引起的误差问题。但是应该注意，该小型DIMM测试原型只是用于验证文中所述新计算公式在小孔径间距时的有效性，实际开发小型DIMM需要注意该测试原型与实际小型DIMM在光斑接收光路上的差异。标准DIMM采用的是较大口径（30 cm）的折反射式望远镜，焦距3 m左右；而小型DIMM需要用小口径（12 cm左右）折射式望远镜，焦距1 m左右。在相同成像器件下，1 m焦距的信标光斑尺寸比3 m焦距的小两倍，较少的光斑像素点在计算光斑质心时会带来一定误差^{[11, 16]}。因此需要设法增加小口径望远镜焦距（如加巴洛镜），或者采用更小像元尺寸的成像器件。

对于DIMM的误差（这里讨论实际测量差分到达角方差的误差，由公式（4）可知大气相干长度的误差为差分到达角方差误差的0.6倍），主要有统计误差和像点质心探测误差。其中统计误差由采用有限样本数计算方差引起，占DIMM误差的绝大部分；质心探测误差主要由有限曝光时间、光学装置像差、天空背景噪声、CCD噪声（包含读出噪声、泊松噪声）等引起，一般比统计误差小一个量级。参考文献[10, 11, 13]对这些误差进行了更详细的讨论。

统计误差与样本数的平方成反比^{[11, 16]}，实验中两台设备样本数都取1000，差分到达角方差的误差为4.5%，由于是同时观测同一颗星，且统计方差样本数相等，故统计误差带来的两台装置结果对比误差可以忽略。实验中，两台装置都是自动调焦以保持光斑处在良好聚焦状态，消除了离焦对测量方差的影响，另外，当质心计算窗口半径大于2.5λ/D时（两台设备均满足），光学装置像差引起的误差可以忽略^[13]，所以光学装置像差引起的误差在两台装置结果对比误差中可以忽略。天空背景噪声、CCD噪声引起的误差与入射信标光通量的平方成反比，对于6 cm子孔直径，背景噪声一般在0.2%左右^[11]，对于9 cm子孔直径，其背景噪声理应更小，但考虑其曝光时间更短，其背景噪声也在0.2%左右；CCD噪声误差一般更小，若保守估计其与背景噪声相当，那么两台装置结果对比误差在0.8%左右。有限曝光时间相当于一个低通滤波器，将到达角起伏的高频分量平滑掉了，从而使得计算起伏方差小于真实起伏方差，一般通过计算T和2T曝光时间的方差，再通过线性关系或指数关系外推到0曝光时间的方差，这种方法可以校正大部分曝光时间影响，但在低风速时会校正过多而在高风速时会校正不足。此次实验是对比两台装置测量结果的差异，无需将曝光时间校正到0曝光，只要两台装置曝光时间相近，曝光时间对测量结果差异的影响可以忽略，经事后对比发现，实验中晴朗时间段，两者曝光时间相差均值约为1 ms，最大不超过2 ms，故曝光时间误差在两台测量装置对比结果误差中可以忽略。综上可知，两台装置测量结果的差异主要由子孔结构参数及测量公式本身引起，对比结果可以用于验证小型DIMM的有效性。

如前所述，在大气湍流局地均匀各向同性假设下，r_0l、r_0t统计上应该相一致，文中主要从实验中r_0l、r_0t统计上的趋势变化来验证计算公式的正确性。实验期间，2019年9月30日天气较好，有效观测时间段较长，观测恒星为Vega，仰角变化从43°~83°，且大气相干长度r₀变化范围大，具有典型代表性。2019年9月30日，小型DIMM中利用传统公式与新公式计算得出的r_0l、r_0t分别如图3（a）、3（b）所示，标准DIMM中得出的r_0l、r_0t整体减去4（如果不下移，数据线会重叠乃至难以分辨）也已放入图中以便比较。

如图3（a）所示，小型DIMM中，采用传统计算公式得出的纵向、横向大气相干长度r_0l、r_0t之间的差异明显，所有时间段内，r_0l（黑色虚线）明显大于r_0t（红色实线）；而如图3（b）所示，采用新计算公式得出的r_0l、r_0t与标准DIMM中的r_0l、r_0t更趋于一致，除了在大致18:30–19:30时间段能看出微弱差异，其他时间段r_0l、r_0t基本重合，这符合大气湍流局地均匀各向同性的经典假设。由此验证，新计算公式比传统计算公式用在小型DIMM中更准确。取r_0l、r_0t的均值，得到最终的r₀，小型DIMM（采用新计算公式）与DIMM的r₀进行比较，结果如图4所示。从图4可以看出，两台装置的测量数据吻合度较高，进一步说明了小型DIMM测量结果的有效性。

传统计算公式用在小型DIMM中，造成纵向大气相干长度r_0l明显大于横向r_0t，究其原因，是因为两点的倾斜相关代替两孔径上的倾斜相关在d/D很小时不成立。当d/D=1时，两子孔径紧挨在一起，对于倾斜纵向分量，可以预见，两点的相关系数小于两孔径上的，从而导致归一化差分系数（等于1减去相关系数）K_lO大于K_lN（从图1中也能看出，在d/D=1时虚线K_lO明显大于实线K_lN）；同理，对于倾斜横向分量，有K_tO小于K_tN（对应于图1中虚线K_tO小于实线K_tN）。又因为相干长度与归一化差分系数的0.6次方成正比，纵、横向归一化差分系数这一大一小的差异导致传统计算公式得出的纵、横向大气相干长度有较大偏差，纵向r_0l明显大于横向r_0t。

被广泛采用的DIMM传统计算公式用两点的到达角起伏相关来近似成两孔径上的到达角起伏相关，这种近似在孔径间距越小时误差越大。Sasiela给出的公式没有做这步近似，在小孔径间距时更准确，可以作为新计算公式采用，尤其是在小型DIMM中。从大气湍流局地均匀各向同性的特点出发，利用实验得出的纵向、横向大气相干长度进行对比，结果揭示了新计算公式比传统计算公式更准确，另外，大气湍流并不是时刻都能满足均匀各向同性条件，显示出大气湍流变化的复杂性。

文中实验是在标准DIMM主体望远镜上加小型DIMM面罩来验证小型DIMM原理上的可行性。今后在实际开发小型DIMM中需要注意它相对于标准DIMM的局限性。局限性主要有：小口径望远镜焦距相对更短，导致信标光斑像数点更少，将使得光斑质心计算误差增加；子孔间距太近意味着倾斜相关性好，将使得归一化差分系数较小（见图1），从而对设备的灵敏度要求更高；小接收孔径要求观测信标更亮才能有较好的信噪比，将会导致可以观测的时间段比标准DIMM少。

致　谢：感谢中国科学院安徽光学精密机械研究所大气光学重点实验室在对比验证实验中给予的支持。